12. Sınıf Matematik

Aşağıdaki limit ifadesi, $[0, 1]$ aralığında tanımlı uygun bir $f(x)$ fonksiyonunun sağ Riemann toplamı olarak düşünülürse, bu limitin değeri kaçtır?

$\\lim_{n \to \\infty} \\sum_{k=1}^{n} f\frac{n}{n^2 + k^2}$

(İpucu: İfadeyi $f\frac{1}{n} \\sum f(f\frac{k}{n})$ formuna getiriniz.)

Bir parçacığın hızı $v(t) = \t\sqrt{t}$ (m/sn) fonksiyonu ile verilmiştir. $[0, 1]$ saniye aralığında parçacığın aldığı yolu hesaplamak isteyen bir öğrenci, bu aralığı eşit uzunlukta $n$ alt aralığa bölerek 'Alt Riemann Toplamı' ($L_n$) ve 'Üst Riemann Toplamı' ($U_n$) değerlerini hesaplıyor.

Buna göre; I. $L_n < \\int_{0}^{1} \sqrt{t} dt < U_n$ II. $\\lim_{n \to \\infty} (U_n - L_n) = 0$ III. $U_n - L_n = f\frac{1}{n}$

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Bir mühendis, yeni tasarladığı parabolik bir viyadük kirişinin yan yüzey alanını hesaplamak için Riemann toplamlarını kullanmaktadır. Kirişin üst sınırı $f(x) = 4 - f\frac{x^2}{4}$ fonksiyonu ile modellenmiş olup, kiriş $x = 0$ ve $x = 4$ dikmeleri arasında yer almaktadır. Mühendis, $[0, 4]$ aralığını $n$ eşit alt aralığa bölerek her bir alt aralığın sağ uç noktasını örneklem noktası ($c_k$) olarak seçmiştir.

Buna göre, $n \to \\infty$ için bu sağ Riemann toplamının limit değeri olan alan (A) birimkare cinsinden aşağıdakilerden hangisidir?

Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki limit ifadesini yazmış ve öğrencilerinden bu ifadeyi belirli bir integral olarak ifade etmelerini istemiştir:

L = lim_{n→∞} Σ_{k=1}^{n} [ (1 + 3k/n)² ⋅ (3/n) ]

Buna göre, bu limitin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve [a, b] aralığının n = 4 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen Sağ Riemann Toplamı (R₄) görsellendirilmiştir. f(x) fonksiyonu azalan ve konveks (çukur) bir fonksiyon olduğuna göre; gerçek alan (A), Sol Riemann Toplamı (L₄) ve Sağ Riemann Toplamı (R₄) arasındaki ilişki aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?