MatematikEfsanevi

İntegral

Riemann toplamı

12. Sınıf Matematik

Bir $f: [0, 1] \ o \\mathbb{R}$ fonksiyonu her $x \\in [0, 1]$ için $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ olarak tanımlanıyor. $[0, 1]$ aralığı $n$ adet eşit alt aralığa bölünüyor. $R_n$ , bu bölüntüye ait sağ Riemann toplamını temsil etmektedir. Buna göre, $\\lim_{n \ o \\infty} \ \frac{4}{n} \\sum_{k=1}^n \sqrt{1 - \\left(\ \frac{k}{n}\ ight)^2}$ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Şıklar

$\ \frac{\\pi}{2}$

$\\pi$

$2\\pi$

$\ \frac{\\pi}{4}$

$1$

Çözüm Açıklaması

Verilen toplam, $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ fonksiyonunun $[0, 1]$ aralığındaki integralinin tanımıdır. Riemann toplamı tanımına göre $\\lim_{n \ o \\infty} \ \frac{1}{n} \\sum_{k=1}^n f(\ \frac{k}{n}) = \\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ olur. Bu integral, merkezi orijin olan 1 birim yarıçaplı çeyrek dairenin alanını temsil eder: $\ \frac{1}{4}\\pi(1)^2 = \ \frac{\\pi}{4}$ . Soruda bu ifadenin 4 katı istendiği için $4 t\times \ \frac{\\pi}{4} = \\pi$ bulunur.

Video Çözüm

AI ile video çözüm oluştur

Yükleniyor...

İnteraktif Çözüm

Adım adım, sesli ve animasyonlu çözüm. Quiz ile kendini test et!

Bu konudan daha fazla soru çöz!

Interaktif soru çözümü ile pratik yap, puan kazan.

Hızlı Çöz

Benzer Sorular

ight)$$ limitinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Efsaneviİntegral

Aşağıdaki limit ifadesi, $[0, 1]$ aralığında tanımlı uygun bir $f(x)$ fonksiyonunun sağ Riemann toplamı olarak düşünülürse, bu limitin değeri kaçtır?

Efsaneviİntegral

$f(x) = x^3$ fonksiyonu için $[0, 1]$ aralığı $n$ eşit parçaya bölünüyor. $M_n$ orta nokta (midpoint) Riemann toplamı olmak üzere, $\\int_0^1 x^3 dx$

Efsaneviİntegral

Bir $f$ fonksiyonu $[0, 1]$ aralığında sürekli ve türevlenebilirdir. $[0, 1]$ aralığı $x_0, x_1, \\dots, x_n$ noktalarıyla $n$ eşit parçaya bölünüyor.

Efsaneviİntegral

Bir mühendis, yeni tasarladığı parabolik bir viyadük kirişinin yan yüzey alanını hesaplamak için Riemann toplamlarını kullanmaktadır. Kirişin üst sını

Efsaneviİntegral

Tüm 12. Sınıf Matematik Soruları Tüm Matematik Soruları