Bir matematik öğretmeni tahtaya aşağıdaki limit ifadesini yazmış ve öğrencilerinden bu ifadeyi belirli bir integral olarak ifade etmelerini istemiştir:
L = lim_{n→∞} Σ_{k=1}^{n} [ (1 + 3k/n)² ⋅ (3/n) ]
Buna göre, bu limitin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Şıklar
7
9
21
26
63
Çözüm Açıklaması
Riemann toplamının tanımı: ∫a^b f(x) dx = lim{n→∞} Σ f(x_k) Δx. Burada Δx = (b-a)/n = 3/n verilmiş. Buradan b-a = 3 olduğunu anlıyoruz. x_k = a + kΔx = 1 + 3k/n olarak verildiğine göre, alt sınır a = 1'dir. a = 1 ise, b - 1 = 3 olduğundan üst sınır b = 4 olur. Fonksiyon yapısı f(x_k) = (x_k)² şeklindedir, yani f(x) = x². Sonuç olarak limit, ∫_1^4 x² dx integraline eşittir. ∫_1^4 x² dx = [x³/3] | (1'den 4'e) = (4³/3) - (1³/3) = 64/3 - 1/3 = 63/3 = 21 bulunur.
Video Çözüm
AI ile video çözüm oluştur
İnteraktif Çözüm
Adım adım, sesli ve animasyonlu çözüm. Quiz ile kendini test et!