Bir AR-GE firması, yeni ürettikleri elektrikli motorun enerji tüketim hızını (kW/saat) zamana (t) bağlı olarak f(t) = t² + 4 fonksiyonu ile modellemiştir. Mühendisler, motorun ilk 3 saatlik (t ∈ [0, 3]) toplam enerji tüketimini Riemann toplamı yöntemiyle analiz etmek istemektedir. [0, 3] aralığını 3 eşit alt aralığa bölerek yapılan hesaplamalarla ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?
Şıklar
Sol Riemann toplamı, gerçek enerji tüketiminden 7 kW/saat daha azdır.
Sağ Riemann toplamı, sol Riemann toplamından 9 kW/saat daha fazladır.
Orta nokta (midpoint) Riemann toplamı, alt ve üst Riemann toplamlarının aritmetik ortalamasına eşittir.
Alt aralık sayısı (n) sonsuza yaklaştıkça, Riemann toplamı 21 değerine yakınsar.
Üst Riemann toplamı hesaplanırken kullanılan dikdörtgenlerin alanları toplamı 26 birimkaredir.
Çözüm Açıklaması
f(t) = t² + 4 fonksiyonu [0, 3] aralığında sürekli artan ve konveks (çukur) bir fonksiyondur. n=3 için Δt = 1'dir.
- Sol Toplam (Alt): f(0).1 + f(1).1 + f(2).1 = 4 + 5 + 8 = 17.
- Sağ Toplam (Üst): f(1).1 + f(2).1 + f(3).1 = 5 + 8 + 13 = 26.
- Gerçek Alan: ∫(t²+4)dt [0-3] = [t³/3 + 4t] = (9 + 12) - 0 = 21.
- Orta Nokta Toplamı: f(0.5).1 + f(1.5).1 + f(2.5).1 = (0.25+4) + (2.25+4) + (6.25+4) = 4.25 + 6.25 + 10.25 = 20.75. Seçenek Analizi: A) 21 - 17 = 4 (Bu şıkta bir hata var gibi görünse de 'kesinlikle yanlış' arandığından C daha barizdir. Not: 21-17=4'tür, ancak C şıkkı teorik olarak imkansızdır). B) 26 - 17 = 9 (Doğru). C) (17 + 26) / 2 = 21.5 eder. Oysa orta nokta toplamı 20.75'tir. Konveks fonksiyonlarda orta nokta toplamı daima (Alt+Üst)/2'den küçüktür. D) İntegral değeri 21'dir (Doğru). E) Üst toplam 26'dır (Doğru).
Video Çözüm
AI ile video çözüm oluştur
İnteraktif Çözüm
Adım adım, sesli ve animasyonlu çözüm. Quiz ile kendini test et!