MatematikEfsanevi

İntegral

Riemann toplamı

12. Sınıf Matematik

Bir parçacığın hızı v(t)=\ttv(t) = \t\sqrt{t} (m/sn) fonksiyonu ile verilmiştir. [0,1][0, 1] saniye aralığında parçacığın aldığı yolu hesaplamak isteyen bir öğrenci, bu aralığı eşit uzunlukta nn alt aralığa bölerek 'Alt Riemann Toplamı' (LnL_n) ve 'Üst Riemann Toplamı' (UnU_n) değerlerini hesaplıyor.

Buna göre; I. Ln<int01tdt<UnL_n < \\int_{0}^{1} \sqrt{t} dt < U_n II. limn→infty(Un−Ln)=0\\lim_{n \to \\infty} (U_n - L_n) = 0 III. Un−Ln=f1nU_n - L_n = f\frac{1}{n}

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

Şıklar

A

Yalnız I

B

I ve II

C

II ve III

D

I ve III

E

I, II ve III

Çözüm Açıklaması

v(t)=tv(t) = \sqrt{t} fonksiyonu [0,1][0, 1] aralığında sürekli ve kesin artan bir fonksiyondur. Kesin artan fonksiyonlarda alt toplam daima integralden küçük, üst toplam ise büyüktür (I doğru). Sürekli bir fonksiyonun Riemann toplamlarında, aralık genişliği sıfıra giderken (n→inftyn \to \\infty) alt ve üst toplamlar aynı limit değerine (integral değerine) yakınsar, dolayısıyla farkları 0 olur (II doğru). Un−Ln=[f(b)−f(a)]⋅DeltaxU_n - L_n = [f(b) - f(a)] \cdot \\Delta x formülüne göre, Un−Ln=(1−0)⋅f1n=f1nU_n - L_n = (\sqrt{1} - \sqrt{0}) \cdot f\frac{1}{n} = f\frac{1}{n} olur. Bu durumda III de doğrudur. Ancak soru kökünde mutlak bir analiz istendiği için fonksiyonun monotonluğu ve sürekliliği tüm öncülleri doğrular.

Video Çözüm

AI ile video çözüm oluştur

Yükleniyor...

İnteraktif Çözüm

Adım adım, sesli ve animasyonlu çözüm. Quiz ile kendini test et!

Bu konudan daha fazla soru çöz!

Interaktif soru çözümü ile pratik yap, puan kazan.

Hızlı Çöz

Benzer Sorular

limn oinftysumk=1n\ k2n3+k3\\lim_{n \ o \\infty} \\sum_{k=1}^n \ \frac{k^2}{n^3 + k^3} limitinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Efsaneviİntegral

Bir f:[0,1] omathbbRf: [0, 1] \ o \\mathbb{R} fonksiyonu her xin[0,1]x \\in [0, 1] için f(x)=1−x2f(x) = \sqrt{1-x^2} olarak tanımlanıyor. [0,1][0, 1] aralığı nn adet eşit alt ara

Efsaneviİntegral

Sn=sumk=1n\ nn2+k2S_n = \\sum_{k=1}^n \ \frac{n}{n^2 + k^2} olarak tanımlanan dizinin n oinftyn \ o \\infty için limiti aşağıdakilerden hangisidir?

Efsaneviİntegral

P=limn oinfty\ (n+1)(n+2)dots(2n)nnnP = \\lim_{n \ o \\infty} \sqrt[n]{\ \frac{(n+1)(n+2)\\dots(2n)}{n^n}} limitinin değeri nedir?

Efsaneviİntegral

f(x)=x3f(x) = x^3 fonksiyonu için [0,1][0, 1] aralığı nn eşit parçaya bölünüyor. MnM_n orta nokta (midpoint) Riemann toplamı olmak üzere, int01x3dx\\int_0^1 x^3 dx

Efsaneviİntegral
Tüm 12. Sınıf Matematik SorularıTüm Matematik Soruları